常见的姿态表示方法之间的转换

本文介绍了常见的机器人姿态表示方法之间的转换方程。有关位姿表示的更多信息，请查看 位置、方向和坐标变换 。

Roll-Pitch-Yaw到旋转矩阵

Roll-pitch-yaw是表示方向的常用术语。每一个代表了围绕单个轴的旋转角度，它们组合起来描述了完整的旋转角度。但是，它们所表示的确切意义并不清楚。有以下困惑：

• 这些角度是绕哪个轴的旋转角度？

• 这些轴是固定的还是移动的？

• 旋转定义的顺序是什么（有多种可能性）？

旋转顺序通常表示 为 x-y-z 或者 z-y'-x'' 。这里的 x ， y 和 z 表示它围绕其旋转的轴 。 ' 用于指示轴是否是固定的。绕固定轴旋转称为 extrinsic rotation 。围绕移动轴的旋转称为 intrinsic rotation 。

下面是两个不同的例子。

对于 x-y-z 或者 z-y'-x'' ， roll $\varphi$ ，pitch $\theta$ 和yaw $\psi$ 角度可以转换为下面的旋转矩阵 $R$ ：

$$\begin{array}{rl}{\mathit{R}}_{x-y-z}=& {\mathit{R}}_{z-y^{{}^{\prime }}-x^{{}^{″}}}={\mathit{R}}_{z,\varphi }{\mathit{R}}_{y,\theta }{\mathit{R}}_{x,\psi }=\\ \left[\begin{array}{ccc}cos\varphi & -sin\varphi & 0\\ sin\varphi & cos\varphi & 0\\ 0& 0& 1\end{array}\right]& \left[\begin{array}{ccc}cos\theta & 0& sin\theta \\ 0& 1& 0\\ -sin\theta & 0& cos\theta \end{array}\right]\left[\begin{array}{ccc}1& 0& 0\\ 0& cos\psi & -sin\psi \\ 0& sin\psi & cos\psi \end{array}\right]\end{array}$$

对 于 z-y-x 或者 x-y'-z'' ， rol l $\varphi$ ， pitch $\theta$ , 和yaw $\psi$ 角度可以转换为下面的旋转矩阵 $R$ ：

$$\begin{array}{rl}{\mathit{R}}_{z-y-x}=& {\mathit{R}}_{x-y^{{}^{\prime }}-z^{{}^{″}}}={\mathit{R}}_{x,\varphi }{\mathit{R}}_{y,\theta }{\mathit{R}}_{z,\psi }=\\ \left[\begin{array}{ccc}1& 0& 0\\ 0& cos\varphi & -sin\varphi \\ 0& sin\varphi & cos\varphi \end{array}\right]& \left[\begin{array}{ccc}cos\theta & 0& sin\theta \\ 0& 1& 0\\ -sin\theta & 0& cos\theta \end{array}\right]\left[\begin{array}{ccc}cos\psi & -sin\psi & 0\\ sin\psi & cos\psi & 0\\ 0& 0& 1\end{array}\right]\end{array}$$

备注

即使两个示例中的角度是相同的，它们也不代表相同的最终旋转矩阵。

即使最终旋转矩阵是相同的，两个示例之间的角度也不相同。

这里引入了一个定义：roll分配给绕运动轴的第一个旋转，pitch是第二个，yaw是第三个。

C++

源码

rollPitchYawListToRotationMatrix(rpyList);

C＃

源码

rollPitchYawListToRotationMatrix(rpyList);

Python

源码

roll_pitch_yaw_to_rotation_matrix(rpy_list)

旋转矢量到轴-角

一个旋转向量 $\mathit{r}$ 可以转换成轴 $\mathit{u}$ 和角度 $\theta$ ，如下所示：

$$\theta =\sqrt{{r_x}^2+{r_y}^2+{r_z}^2}$$

$$\begin{array}{r}\mathit{u}=\left[\begin{array}{ccc}\frac{r_x}{\theta }& \frac{r_y}{\theta }& \frac{r_z}{\theta }\end{array}\right]\end{array}$$

轴-角到四元数

轴 $\mathit{u}$ 和角度 $\theta$ 可以转换为单位四元数 $\mathit{q}$ ，如下所示：

$$\begin{array}{r}\mathit{q}=\left[\begin{array}{cccc}\cos \frac{\theta }{2}& u_x\sin \frac{\theta }{2}& u_y\sin \frac{\theta }{2}& u_z\sin \frac{\theta }{2}\end{array}\right]\end{array}$$

四元数到旋转矩阵

单位四元数 $\mathit{q}$ 可以转换为旋转矩阵 $\mathit{R}$ ，如下所示：

$$\begin{array}{r}\mathit{R}=\left[\begin{array}{ccc}1-2{q_y}^2-2{q_z}^2& 2q_x{q}_y-2q_z{q}_w& 2q_x{q}_z-2q_y{q}_w\\ 2q_x{q}_y-2q_z{q}_w& 1-2{q_x}^2-2{q_z}^2& 2q_y{q}_z-2q_x{q}_w\\ 2q_x{q}_z-2q_y{q}_w& 2q_y{q}_z-2q_x{q}_w& 1-2{q_x}^2-2{q_y}^2\end{array}\right]\end{array}$$

假设四元数已归一化 $(q_w+q_x+q_y+q_z=1)$ 。如果不是，则应在使用以下公式进行转换之前将其归一化：

$$n=\sqrt{{q_w}^2+{q_c}^2+{q_y}^2+{q_z}^2}$$

$$\begin{array}{r}\mathit{q}=\left[\begin{array}{cccc}\frac{q_w}{n}& \frac{q_x}{n}& \frac{q_y}{n}& \frac{q_z}{n}\end{array}\right]\end{array}$$

C++

源码

const Eigen::Matrix3f rotationMatrixFromQuaternion = quaternion.toRotationMatrix();
std::cout << "Rotation Matrix from Quaternion:\n"
          << rotationMatrixFromQuaternion.format(matrixFormatRules) << std::endl;

C＃

源码

var rotationMatrixFromQuaternion = quaternionToRotationMatrix(quaternion);
Console.WriteLine("Rotation Matrix from Quaternion:\n" + matrixToString(rotationMatrixFromQuaternion));

Python

源码

rotation_matrix_from_quaternion = quaternion_to_rotation_matrix(quaternion)
print(f"Rotation Matrix from Quaternion:\n{rotation_matrix_from_quaternion}")

旋转矩阵到四元数

旋转矩阵 $\mathit{R}$ 可以转换为单位四元数 $\mathit{q}$ ，如下所示：

$$q_w=\frac{\sqrt{1+r_{11}+r_{22}+r_{33}}}{2}$$

$$\begin{array}{r}\mathit{q}=\left[\begin{array}{cccc}{q}_w& \frac{r_{32}-r_{23}}{4q_w}& \frac{r_{13}-r_{31}}{4q_w}& \frac{r_{21}-r_{12}}{4q_w}\end{array}\right]\end{array}$$

C++

源码

const Eigen::Quaternionf quaternion(rotationMatrix);
std::cout << "Quaternion:\n" << quaternion.coeffs().format(vectorFormatRules) << std::endl;

C＃

源码

var quaternion = rotationMatrixToQuaternion(rotationMatrix);
Console.WriteLine("Quaternion:\n" + matrixToString(quaternion.Transpose()));

Python

源码

quaternion = rotation_matrix_to_quaternion(rotation_matrix)
print(f"Quaternion:\n{quaternion}")

四元数到轴-角

单位四元 数 $\mathit{q}$ 可以转换成轴 $\mathit{u}$ 和角度 $\theta$ ，如下所示：

$$\theta =2{\cos }^{-1}{q}_w$$

$$\begin{array}{r}\mathit{u}=\left[\begin{array}{ccc}\frac{q_x}{\sqrt{1-{q_w}^2}}& \frac{q_y}{\sqrt{1-{q_w}^2}}& \frac{q_z}{\sqrt{1-{q_w}^2}}\end{array}\right]\end{array}$$

这对于从旋转矩阵转换为轴-角很有用。请参阅下面的代码示例实现。

C++

源码

const Eigen::AngleAxisf axisAngle(rotationMatrix);
std::cout << "AxisAngle:\n"
          << axisAngle.axis().format(vectorFormatRules) << ", " << axisAngle.angle() << std::endl;

C＃

源码

var axisAngle = rotationMatrixToAxisAngle(rotationMatrix);
Console.WriteLine("AxisAngle:\n" + matrixToString(axisAngle.Axis.Transpose()) + ", " + String.Format(" {0:G4} ", axisAngle.Angle));

Python

源码

axis_angle = rotation_matrix_to_axis_angle(rotation_matrix)
print(f"AxisAngle:\n{axis_angle.axis}, {axis_angle.angle:.4f}")

轴-角到旋转矢量

轴 $\mathit{u}$ 和角度 $\theta$ 可以转换为旋转向量 $\mathit{r}$ ，如下所示：

$$\begin{array}{r}\mathit{r}=\left[\begin{array}{ccc}{u}_x\theta & u_y\theta & u_z\theta \end{array}\right]\end{array}$$

这对于将旋转矩阵转换为旋转向量很有用。请参阅下面的代码示例实现。

C++

源码

const Eigen::Vector3f rotationVector = rotationMatrixToRotationVector(rotationMatrix);
std::cout << "Rotation Vector:\n" << rotationVector.format(vectorFormatRules) << std::endl;

C＃

源码

var rotationVector = axisAngle.Axis * axisAngle.Angle;
Console.WriteLine("Rotation Vector:\n" + matrixToString(rotationVector.Transpose()));

Python

源码

rotation_vector = rotation_matrix_to_rotation_vector(rotation_matrix)
print(f"Rotation Vector:\n{rotation_vector}")

旋转矩阵到Roll-Pitch-Yaw

从旋转矩阵确定滚动、俯仰、偏航角并不简单。可以有多个，有时甚至是无数个解。这就需要一种算法，该算法可以根据某些标准从多个解中选择出其中一个解。

C++

源码

const auto rpyList = rotationMatrixToRollPitchYawList(rotationMatrix);

C＃

源码

var rpyList = rotationMatrixToRollPitchYawList(rotationMatrix);

Python

源码

rpy_list = rotation_matrix_to_roll_pitch_yaw(rotation_matrix)