Conversions Between Common Orientation Representations

이 기사에서는 로봇에 일반적인 방향 표현 간의 변환을 위한 방정식을 제시합니다. 포즈 표현에 대한 자세한 내용은 Position, Orientation and Coordinate Transformations 을 확인하십시오.

Roll-Pitch-Yaw to Rotation Matrix

Roll-pitch-yaw는 방향을 나타내는 일반적인 용어입니다. 각각은 단일 축을 중심으로 한 회전 각도를 나타내며 결합하여 완전한 회전을 나타냅니다. 그러나 정확히 무엇을 나타내는지는 명확하지 않습니다. 다음과 같은 혼란을 겪을 수 있습니다.

• 각각 어떤 축을 중심으로 회전합니까?

• 이 축은 고정되어 있습니까, 아니면 이동 중입니까?

• 회전은 어떤 순서로 정의됩니까(여러 가지 가능성이 있음)?

회전 순서는 종종 x-y-z 또는 z-y'-x'' 로 표시됩니다. 여기서 x, y 및 z 는 회전하는 축을 나타냅니다. ' 는 축의 고정 여부를 나타내는 데 사용됩니다. 고정 축을 중심으로 하는 회전을 extrinsic rotation 이라고 합니다. 움직이는 축을 중심으로 회전하는 것을 intrinsic rotation 이라고 합니다.

다음은 두 가지 다른 예입니다.

x-y-z 또는 z-y'-x'' 의 경우, 롤 $\varphi$, 피치 $\theta$ 및 요 $\psi$ 각도는 다음과 같이 회전 행렬 $R$ 로 변환할 수 있습니다.:

$$\begin{array}{rl}{\mathit{R}}_{x-y-z}=& {\mathit{R}}_{z-y^{{}^{\prime }}-x^{{}^{″}}}={\mathit{R}}_{z,\varphi }{\mathit{R}}_{y,\theta }{\mathit{R}}_{x,\psi }=\\ \left[\begin{array}{ccc}cos\varphi & -sin\varphi & 0\\ sin\varphi & cos\varphi & 0\\ 0& 0& 1\end{array}\right]& \left[\begin{array}{ccc}cos\theta & 0& sin\theta \\ 0& 1& 0\\ -sin\theta & 0& cos\theta \end{array}\right]\left[\begin{array}{ccc}1& 0& 0\\ 0& cos\psi & -sin\psi \\ 0& sin\psi & cos\psi \end{array}\right]\end{array}$$

z-y-x 또는 x-y'-z'' 의 경우, 롤 $\varphi$, 피치 $\theta$ 및 요 $\psi$ 각도는 다음과 같이 회전 행렬 $R$ 로 변환할 수 있습니다.:

$$\begin{array}{rl}{\mathit{R}}_{z-y-x}=& {\mathit{R}}_{x-y^{{}^{\prime }}-z^{{}^{″}}}={\mathit{R}}_{x,\varphi }{\mathit{R}}_{y,\theta }{\mathit{R}}_{z,\psi }=\\ \left[\begin{array}{ccc}1& 0& 0\\ 0& cos\varphi & -sin\varphi \\ 0& sin\varphi & cos\varphi \end{array}\right]& \left[\begin{array}{ccc}cos\theta & 0& sin\theta \\ 0& 1& 0\\ -sin\theta & 0& cos\theta \end{array}\right]\left[\begin{array}{ccc}cos\psi & -sin\psi & 0\\ sin\psi & cos\psi & 0\\ 0& 0& 1\end{array}\right]\end{array}$$

참고

두 예에서 각도가 동일하다고 가정하면 동일한 최종 회전 행렬을 나타내지 않습니다.

최종 회전 행렬이 동일하다고 가정하면 두 예제 간에 각도가 동일하지 않습니다.

정의가 도입되었습니다. 롤 각도는 움직이는 축에 대한 첫 번째 회전에 할당되고, 피치는 두 번째, 요는 세 번째 회전에 할당됩니다.

C++

source

rollPitchYawListToRotationMatrix(rpyList);

C#

소스

rollPitchYawListToRotationMatrix(rpyList);

Python

소스

roll_pitch_yaw_to_rotation_matrix(rpy_list)

Rotation Vector to Axis-Angle

회전 벡터 $\mathit{r}$ 는 다음과 같이 축 $\mathit{u}$ 과 각도 $\theta$ 로 변환할 수 있습니다.:

$$\theta =\sqrt{{r_x}^2+{r_y}^2+{r_z}^2}$$

$$\begin{array}{r}\mathit{u}=\left[\begin{array}{ccc}\frac{r_x}{\theta }& \frac{r_y}{\theta }& \frac{r_z}{\theta }\end{array}\right]\end{array}$$

Axis-Angle to Quaternion

축 $\mathit{u}$ 과 각도 $\theta$ 는 다음과 같이 unit quaternion $\mathit{q}$ 로 변환할 수 있습니다.:

$$\begin{array}{r}\mathit{q}=\left[\begin{array}{cccc}\cos \frac{\theta }{2}& u_x\sin \frac{\theta }{2}& u_y\sin \frac{\theta }{2}& u_z\sin \frac{\theta }{2}\end{array}\right]\end{array}$$

Quaternion to Rotation Matrix

unit quaternion $\mathit{q}$ 는 다음과 같이 회전 행렬 $\mathit{R}$ 로 변환할 수 있습니다.:

$$\begin{array}{r}\mathit{R}=\left[\begin{array}{ccc}1-2{q_y}^2-2{q_z}^2& 2q_x{q}_y-2q_z{q}_w& 2q_x{q}_z-2q_y{q}_w\\ 2q_x{q}_y-2q_z{q}_w& 1-2{q_x}^2-2{q_z}^2& 2q_y{q}_z-2q_x{q}_w\\ 2q_x{q}_z-2q_y{q}_w& 2q_y{q}_z-2q_x{q}_w& 1-2{q_x}^2-2{q_y}^2\end{array}\right]\end{array}$$

quaternion이 $(q_w+q_x+q_y+q_z=1)$ 와 같이 정규화되었다고 가정합니다. 그렇지 않은 경우 다음 방정식을 사용하여 변환을 수행하기 전에 정규화해야 합니다.

$$n=\sqrt{{q_w}^2+{q_c}^2+{q_y}^2+{q_z}^2}$$

$$\begin{array}{r}\mathit{q}=\left[\begin{array}{cccc}\frac{q_w}{n}& \frac{q_x}{n}& \frac{q_y}{n}& \frac{q_z}{n}\end{array}\right]\end{array}$$

C++

source

const Eigen::Matrix3f rotationMatrixFromQuaternion = quaternion.toRotationMatrix();
std::cout << "Rotation Matrix from Quaternion:\n"
          << rotationMatrixFromQuaternion.format(matrixFormatRules) << std::endl;

C#

소스

var rotationMatrixFromQuaternion = quaternionToRotationMatrix(quaternion);
Console.WriteLine("Rotation Matrix from Quaternion:\n" + matrixToString(rotationMatrixFromQuaternion));

Python

소스

rotation_matrix_from_quaternion = quaternion_to_rotation_matrix(quaternion)
print(f"Rotation Matrix from Quaternion:\n{rotation_matrix_from_quaternion}")

Rotation Matrix to Quaternion

회전 행렬 $\mathit{R}$ 을 다음과 같이 unit quaternion $\mathit{q}$ 으로 변환할 수 있습니다.:

$$q_w=\frac{\sqrt{1+r_{11}+r_{22}+r_{33}}}{2}$$

$$\begin{array}{r}\mathit{q}=\left[\begin{array}{cccc}{q}_w& \frac{r_{32}-r_{23}}{4q_w}& \frac{r_{13}-r_{31}}{4q_w}& \frac{r_{21}-r_{12}}{4q_w}\end{array}\right]\end{array}$$

C++

source

const Eigen::Quaternionf quaternion(rotationMatrix);
std::cout << "Quaternion:\n" << quaternion.coeffs().format(vectorFormatRules) << std::endl;

C#

소스

var quaternion = rotationMatrixToQuaternion(rotationMatrix);
Console.WriteLine("Quaternion:\n" + matrixToString(quaternion.Transpose()));

Python

소스

quaternion = rotation_matrix_to_quaternion(rotation_matrix)
print(f"Quaternion:\n{quaternion}")

Quaternion to Axis-Angle

unit quaternion $\mathit{q}$ 는 다음과 같이 축 $\mathit{u}$ 과 각도 $\theta$ 로 변환할 수 있습니다.:

$$\theta =2{\cos }^{-1}{q}_w$$

$$\begin{array}{r}\mathit{u}=\left[\begin{array}{ccc}\frac{q_x}{\sqrt{1-{q_w}^2}}& \frac{q_y}{\sqrt{1-{q_w}^2}}& \frac{q_z}{\sqrt{1-{q_w}^2}}\end{array}\right]\end{array}$$

이것은 회전 행렬에서 축 각도로 변환하는 데 유용합니다. 아래 코드 샘플 구현을 참조하십시오.

C++

source

const Eigen::AngleAxisf axisAngle(rotationMatrix);
std::cout << "AxisAngle:\n"
          << axisAngle.axis().format(vectorFormatRules) << ", " << axisAngle.angle() << std::endl;

C#

소스

var axisAngle = rotationMatrixToAxisAngle(rotationMatrix);
Console.WriteLine("AxisAngle:\n" + matrixToString(axisAngle.Axis.Transpose()) + ", " + String.Format(" {0:G4} ", axisAngle.Angle));

Python

소스

axis_angle = rotation_matrix_to_axis_angle(rotation_matrix)
print(f"AxisAngle:\n{axis_angle.axis}, {axis_angle.angle:.4f}")

Axis-Angle to Rotation Vector

축 $\mathit{u}$ 과 각도 $\theta$ 는 다음과 같이 회전 벡터 $\mathit{r}$ 로 변환할 수 있습니다.:

$$\begin{array}{r}\mathit{r}=\left[\begin{array}{ccc}{u}_x\theta & u_y\theta & u_z\theta \end{array}\right]\end{array}$$

이것은 회전 행렬을 회전 벡터로 변환하는 데 유용합니다. 아래 코드 샘플 구현을 참조하십시오.

C++

source

const Eigen::Vector3f rotationVector = rotationMatrixToRotationVector(rotationMatrix);
std::cout << "Rotation Vector:\n" << rotationVector.format(vectorFormatRules) << std::endl;

C#

소스

var rotationVector = axisAngle.Axis * axisAngle.Angle;
Console.WriteLine("Rotation Vector:\n" + matrixToString(rotationVector.Transpose()));

Python

소스

rotation_vector = rotation_matrix_to_rotation_vector(rotation_matrix)
print(f"Rotation Vector:\n{rotation_vector}")

Rotation Matrix to Roll-Pitch-Yaw

회전 매트릭스에서 롤, 피치, 요 각도를 결정하는 것은 간단하지 않습니다. 여러 가지, 때로는 무한한 솔루션이 있을 수도 있습니다. 이를 위해서는 몇 가지 기준에 따라 여러 솔루션 중 하나를 선택할 수 있는 알고리즘이 필요합니다.

C++

source

const auto rpyList = rotationMatrixToRollPitchYawList(rotationMatrix);

C#

소스

var rpyList = rotationMatrixToRollPitchYawList(rotationMatrix);

Python

소스

rpy_list = rotation_matrix_to_roll_pitch_yaw(rotation_matrix)